地球科学进展

地球科学进展, 2019, 34(1): 57-71 DOI: 10.11867/j.issn.1001-8166.2019.01.0057

空间域密度界面反演方法及其进展

冯旭亮,

1. 西安石油大学地球科学与工程学院，陕西 西安 710065

Review of Density Interface Inversion Method in Spatial Domain

Feng Xuliang,

1. School of Earth Sciences and Engineering, Xi’an Shiyou University, Xi’an 710065, China

收稿日期: 2018-08-31   修回日期: 2018-12-03   网络出版日期: 2019-02-26

基金资助: 陕西省教育厅科研计划项目“基于L0-范数约束的海沟型密度界面反演技术研究”.  编号：17JK0617

Received: 2018-08-31   Revised: 2018-12-03   Online: 2019-02-26

作者简介 About authors

冯旭亮（1989-），男，甘肃平凉人，讲师，主要从事重磁勘探方法理论与应用及综合地球物理勘探研究.

FengXuliang(1989-),male,PingliangCity,GansuProvince,Lecturer.Researchareasincludethegravityandmagneticexplorationmethodsandthecomprehensivegeophysicalexplorationofpetroleumandnaturalgas.E-mail:fxlchd@163.com

摘要

利用重力数据反演密度界面一直是重力学研究的重要内容，其在区域构造研究和油气勘探等领域发挥着越来越重要的作用。按照计算域的不同，密度界面反演方法可分为频率域方法和空间域方法。简要介绍了空间域方法中研究和使用较多的直接迭代法、脊回归法和正则化方法的基本原理及改进措施，3种方法的应用效果对比表明，直接迭代法和脊回归法反演结果均为光滑形态的密度界面，而正则化方法可反演非光滑形态密度界面，并且方便施加先验约束信息。密度界面反演结果受位场分离精度的影响较大，应尽量利用已知信息作为约束进行位场分离或采用逐层分离技术。待反演界面上下的密度差对反演结果影响亦很大，需充分利用研究区密度资料构建符合构造特征的三维密度差变化模型以提高反演的精度。在反演方法原理方面，需要结合先验约束信息（可通过钻井、地震资料等获得）来提高反演的准确性。更重要的是，需明确反演密度界面与地质构造界面的对应关系，以正确评价反演结果。最后提出了密度界面反演方法将来的研究重点和发展方向：随着重力观测技术的快速发展以及研究目标的多样化，今后需研究适用于大区域或全球尺度的密度界面反演方法；随着地质目标勘探难度的增大，亦亟需研究符合构造特征的精细的单密度界面反演方法，并发展多层密度界面反演技术。

关键词： 重力 ; 密度界面 ; 反演 ; 空间域

Abstract

Inversion of density interfaces using gravity data has traditionally been an important part of gravity research, and plays an increasingly important role in areas such as regional tectonic research and oil and gas exploration.The density interface inversion methods can be divided into the frequency domain and spatial domain methods according to different computing domains. The frequency domain inversion methods have been considered in previous literature. This paper briefly introduced the rationale and the advance of the direct iterative method, the ridge regression method and the regularization method,which are most studied and used among the spatial domain methods. The performance of the three methods showed that the inversion results of the direct iteration method and the ridge regression method are both the smooth shape density interfaces, while the regularization method can estimate the density interfaces of non-smooth morphology, and is convenient to add prior constraint information. The inversion results of density interface are greatly determined by the precision of potential field separation. The prior information should be used as constraints for gravity field separation as far as possible or the layer-by-layer separation technique could be adopted. The density contrast of the density interface also has noticeable impact on the inversion result. It is necessary to make full use of the rock density data to build a three-dimensional density contrast variation model that conforms to the tectonic features to improve the inversion accuracy.In terms of the theory of inversion method, it is also necessary to combine prior constraint information (which can be obtained through drilling and seismic data, etc.) to improve the accuracy of inversion.More importantly, it is necessary to define the corresponding relationship between the inverted density interface and the geological structure interface in order to evaluate the inversion results correctly.Finally, this paper discussed the developing trend and study emphasis for density interface inversion.The inversion methods that are suitable for large regional or global scale need to be studied with the rapid development of gravity observation technology and the diversification of research objectives. With the increasing difficulty of geological target exploration, it is also urgent to study the optimal single-density interface inversion method conforming to the tectonic features and develop the multi-layer density interface inversion method.

Keywords： Gravity ; Density interface ; Inversion ; Space domain.

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本文引用格式

冯旭亮. 空间域密度界面反演方法及其进展. 地球科学进展[J], 2019, 34(1): 57-71 DOI:10.11867/j.issn.1001-8166.2019.01.0057

Feng Xuliang. Review of Density Interface Inversion Method in Spatial Domain. Advances in Earth Science[J], 2019, 34(1): 57-71 DOI:10.11867/j.issn.1001-8166.2019.01.0057

1 引 言

密度分界面（简称密度界面）是一类特殊的地质界面，其与岩石圈界面、地壳界面、地层界面等相对应，故密度界面起伏形态反演对于地壳结构研究、区域构造研究及油气勘探等皆具有关键作用。重力异常是地下各密度界面起伏及岩性不均匀的综合反映，因此，根据重力异常反演密度界面的起伏形态一直是位场数据处理解释的重要内容。

根据计算域不同，现有的密度界面反演方法可分为频率域和空间域两大类。频率域反演方法出现于20世纪70年代[1,2]，该方法因具有计算速度快的优势而得到迅速发展与应用，冯娟等[3]对频率域密度界面反演方法进行了详细回顾。空间域密度界面反演方法出现较早，最早可追溯到20世纪50年代[4]，随后得到了广泛研究和使用，并形成了多种反演方法，典型的方法包括经验公式法[5]、直接迭代法[6,7,8,9,10,11,12,13,14]、脊回归法[15,16,17,18,19,20,21,22]、正则化方法[23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35]、压缩质面法[36,37,38,39]、级数法[40]和样条函数法[41]等。其中直接迭代法、脊回归法和正则化方法是研究和使用最多的方法，其他方法的相关研究较少。

本文首先简要介绍空间域中研究和使用较多的直接迭代法、脊回归法和正则化方法的基本原理及其发展概况，之后讨论了与密度界面反演相关的几个关键问题及解决措施，最后提出了密度界面反演方法未来的研究重点和发展方向。

2 空间域主要密度界面反演方法简介及效果分析

2.1 直接迭代法

2.1.1 研究概况

1960年，Bott[6]提出了一种根据重力异常计算二维沉积盆地基底深度的方法，其原理是利用无限大平板重力异常公式逐次逼近消除剩余异常。Cordell等[7]在Bott方法的基础上，提出了一种比较完善的三维重力反演方法。随后，在Bott方法的基础上，诸多学者对直接迭代法进行了研究和应用[8,9,10,11,12]。2014年，Silva等[13]详细回顾了利用重力反演沉积盆地基底形态的方法，改进了Bott提出的反演迭代公式以加快收敛速度，并提出了保证反演稳定的措施。

2.1.2 基本原理

直接迭代法的反演迭代公式如下[6,13]：

mk(xi)=mk-1(xi)+go(xi)-g(xi,Δρ,mk-1)2πGΔρ,
i=1,⋯,N,

式中：G为万有引力常量；xi为第i个重力观测点的坐标；mk-1(xi)和mk(xi)分别为xi点处第k-1次和第k次的密度界面深度反演结果；go(xi)和g(xi,Δρ,mk-1)分别为xi点处实测重力异常和模型正演拟合重力异常；Δρ为界面上下的密度差。公式（1）通过给定m0为零向量开始迭代，并利用go与g(x,Δρ,mk-1)的均方差小于重力数据的噪声水平而终止迭代计算[13]。

Cordell等[7]的方法原理与Bott方法相同，区别在于所用的迭代公式不同：

mk(xi)=mk-1(xi)×go(xi)g(xi,Δρ,mk-1),i=1,⋯,N。

公式（2）利用无限大平板重力公式m0(xi)=go(xi)/2πGΔρ给定初值进行迭代，收敛条件与Bott方法相同。值得注意的是，随后的直接迭代法都是在Bott方法的基础上改进和发展的，Cordell等[7]的迭代方法后续仅有个别学者进行了研究[14]。

对于直接迭代法的改进主要在4个方面：①引入加速收敛因子[8]或变迭代步长[13]的方法以提高计算效率；②引入已知深度点以提高反演的准确性[8,10]；③采用低通滤波[13]或引入稳定正则化因子[11,12]的方法提高反演的稳定性；④将公式（1）中的Δρ改为随深度变化的密度函数Δρ(z)，从而将直接迭代法推广到变密度情形，包括线性密度函数[42]、二次多项式密度函数[15]、三次多项式密度函数[43]、指数密度函数[10,44]、抛物线密度函数[45]和双曲线密度函数[46]。

2.1.3 应用效果

直接迭代法仅采用线性迭代计算而避免了非线性方程组的求解，计算速度较快。然而，直接迭代法仅利用重力异常的拟合差进行迭代，因此，绝大多数情形下反演结果与重力异常的形态相似，为光滑形态的密度界面，可广泛应用于克拉通盆地基底起伏[8,9,12,13]和莫霍面深度反演[10,11]。但对于一些非光滑形态的密度界面（如裂陷盆地基底等），该反演方法并不能得到较满意的结果。

图1为利用直接迭代法反演的印度东部陆缘辛塔拉普蒂盆地（Chintalapudi Basin）基底深度[47]。反演结果（图1b）与重力异常高低变化（图1a）较为相似，均为光滑形态，呈现了盆地基底的基本起伏特征。但辛塔拉普蒂盆地是由印度洋底扩张形成的大陆边缘裂陷盆地[47]，基底受断裂构造控制，呈非光滑形态，因此，图1b的结果并不能客观地呈现盆地构造特征，更像盆地基底起伏变化的“模糊”反映。

图1

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图1   辛塔拉普蒂盆地重力异常及其反演结果[47]

Fig.1   The observed gravity anomaly an ditsinverted results in Chintalapudi Basin[47]

（a）重力异常；（b）直接迭代法反演结果

(a) The observed gravity anomaly; (b) The inverted result with the direct iterative method


2.2 脊回归法

2.2.1 研究概况

对于空间域密度界面反演，可采用最小二乘原理，建立L2-范数意义下的模型正演重力异常与实测重力异常之差的目标函数，求解此目标函数的极小化问题，即可得到密度界面的起伏形态，其中脊回归法[48]是常用的求解方法。1985年，Rao[15]利用脊回归法解释了倾斜断层的重力异常。21世纪以来，脊回归法得到了较多的应用。Chakavarthi等[16,17,18,19,20,21]实现了断层面形态反演、沉积盆地基底反演、背斜和向斜反演。2015年，Mojica等[22]在反演中利用广义交叉验证（Generalized Cross Validation，GCV）准则求取了最优正则化参数，并利用消息传递接口(Message Passing Interface,MPI)并行方法加快了反演速度。

2.2.2 基本原理

密度界面反演计算时，实测重力异常与正演重力异常之差可由以下误差函数表示[16]：

ϕ=∑i=1Ngobs(xi)-gcal(xi)2，i=1,⋯,N,

式中：gobs(xi)和gcal(xi)分别为实测重力异常和模型正演拟合重力异常。

公式（3）极小化的充要条件是ϕ对各个待反演参数（即剖分的界面深度）的偏导数为零。采用脊回归方法建立正规方程组求解公式（3）的极小化问题[18,19]，可得：

∑i=1Ngobs(xi)-gcal(xi)∂gcal(xi)∂zj=∑i=1N∑k=1N∂gcal(xi)∂zj∂gcal(xi)∂zk(1+δjkλ)δzk
(j=1,⋯,N)，

式中：

δjk=1j=k0j≠k 。

通过公式（4）得到每次迭代界面深度的修正量∂zk。

对于脊回归法的改进主要在2个方面：①反演的过程中估算区域重力异常[18,20]；②推广到变密度情形，包括二次多项式密度函数[16]、抛物线密度函数[17,18]、指数密度函数[19,20]。对于公式（3）的目标函数极小化问题的求解，也有学者利用其他最优化方法进行求解，如奇异值分解法[49]、共轭梯度法[50]、拟神经网络BP算法[51,52]、遗传算法[53,54]、模拟退火法[55,56]和粒子群算法[57]。

2.2.3 应用效果

直接迭代法需要在误差允许范围内充分拟合实测重力异常，其对数据误差较敏感。尽管可采用低通滤波等方法提高反演的稳定性，但滤波参数较难选择。而脊回归法采用最小二乘原理，与直接迭代法相比，其稳定性较高，这是脊回归法的优势。然而，脊回归法涉及到正规方程组的求解，显然其效率明显低于直接迭代法。脊回归法亦仅利用重力异常反演密度界面起伏形态，反演结果也为光滑形态的密度界面。Chakavarthi等[18]利用脊回归法反演了辛塔拉普蒂盆地基底深度，结果与直接迭代法的反演结果几乎一致。

2.3 正则化方法

2.3.1 研究概况

密度界面反演问题往往是不适定的，可利用正则化原理[58]建立一个稳定的非线性函数并使其最小化而达到反演的目的。该稳定函数由数据拟合函数和正则化函数构成，其中，数据拟合函数保证反演结果能够拟合实测重力异常；正则化函数由已知深度约束函数和模型约束函数组成[23]，前者利用界面的已知深度来保证反演结果尽可能地接近界面真实深度，并不直接决定反演界面的形态；后者建立了界面相邻剖分模型的变化规律以保证反演结果符合界面的主要地质特征。因此，反演界面的形态很大程度上决定于模型约束函数的形式。Barbosa等[23]利用L2-范数建立模型约束函数，以此反演了光滑三维沉积盆地基底。随后，Silva等[24]和Martins等[25]分别实现了变密度情形下光滑形态二维和三维沉积盆地基底反演。在非光滑密度界面反演方面，Barbosa等[26]利用加权矩阵对Barbosa等[23]的模型约束函数进行改进，实现了非光滑形态沉积盆地基底反演。Silva等[27]利用熵正则化进行了非光滑形态沉积盆地基底二维反演。Martins等[28]则利用L1-范数形式的全变差函数进行了非光滑形态三维沉积盆地基底反演。Lima等[29]通过对比认为，在反演非光滑形态密度界面方面，全变差正则化方法[28]比加权平滑方法[26]和熵正则化方法[27]更具优势。在此基础上，冯旭亮等[30]实现了双界面模式非光滑形态盆地基底二维反演以及裂陷盆地基底三维反演[31]。

2.3.2 基本原理

密度界面正则化反演的目标函数可写为以下形式[25,28,30]：

φ(m)=φg(m)+λhh(m)+λmτ(m)，

式中：m为M×1型的密度界面深度向量，其为待反演的参数。λh和λm为正则化参数；φg(m)是数据误差函数，可用实测重力异常与正演拟合重力异常的L2-范数的平方表示[25]：

φg(m)=gobs-g(m)2，

式中：gobs和g(m)分别为实测重力异常和正演拟合重力异常。

公式（5）中h(m)为已知深度约束函数，其形式为[28]：

h(m)=Wm-H22，

式中：H为一个B×1型向量，表示了密度界面的已知深度，B为已知深度点的个数；W为B×M型矩阵，其每行只有一个非零元素，相当于单位矩阵[28]。矩阵W的非零元素可取为1，第b行的非零元素与向量H的第b个元素有关，若该行中第i个元素为非零元素，则其所在位置处反演的密度界面深度与第b个已知深度点的水平距离最小，通过公式（7）最小化可保证在某个已知深度点附近的反演结果接近真实深度。

公式（5）中τ(m)为模型约束函数，通常采用范数形式建立，最常用的形式为L2-范数[25]：

τ(m)=Rm22，

式中：R为一阶差分拉普拉斯算子；⋅2表示L2-范数。

对于正则化方法的改进主要在3个方面：①提出新的模型约束函数，提高了反演方法的适用范围，使得其既可以反演光滑形态密度界面，又可反演非光滑形态密度界面，甚至反演光滑与非光滑同时存在的密度界面[31,32]；②提高计算效率，包括利用并行计算技术[22,33]、加快正演计算速度以提高反演效率[34,35]以及利用直接迭代法原理优化正则化反演[47]；③推广到变密度情形，包括指数密度函数[34]、抛物线密度函数[25,28,33,35]以及双曲线密度函数[24,27,28,30]等。

2.3.3 应用效果

正则化方法的目标函数中包括了已知深度约束和模型约束，反演结果精度更高、更符合已知特征。图2为利用全变差函数作为模型约束函数反演的辛塔拉普蒂盆地基底深度。与直接迭代法结果（图1b）相比，正则化方法的反演结果呈现高角度不连续的界面，盆地南缘和北缘均由对称的高角度断裂组成，这与该盆地的构造解释（断陷较为发育的地堑）一致。此外，A，B和C 3个次盆的形态也更为清楚。

图2

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图2   辛塔拉普蒂盆地基底正则化方法反演结果[47]

Fig.2   The inverted basement relief of Chintalapudi Basin with the regularization method[47]


3 密度界面反演相关问题

除反演方法的数学原理外，亦有诸多因素影响密度界面反演结果，包括界面重力异常的分离、界面上下密度差的确定、先验约束信息的利用、平均界面深度选取、迭代收敛条件、数据噪声处理等，本文仅对反演结果影响较大的问题进行讨论。

3.1 密度界面重力异常分离

3.1.1 密度界面重力异常常用的分离方法

重力异常是观测面以下所有地质体重力效应的叠加，因此，反演单界面深度之前须先从实测重力异常中分离出目标界面所引起的重力异常，然而，从叠加重力异常中分离出单个目标体引起的“纯”重力异常是不可能的。在密度界面反演时通常采用的措施为利用位场分离方法如趋势分析法[59,60,61]、切割法[62,63]、小波分析法[64,65]、频率域滤波法[66]、解析延拓法[67,68]等选择多个参数进行计算，之后与界面已知地质特征进行对比确定最佳的分离结果作为界面重力异常，这一措施对于构造简单的区域是可行的(图3和图4)。

图3b为一个由2个界面组成的简单二维模型，其引起的重力异常如图3a所示。该模型的重力异常高低变化与浅部密度界面的起伏变化基本一致，但由于深部密度界面的重力影响，使得剖面左半部分重力异常值整体较高，而右半部分异常值较低。图4为利用解析延拓方法选用不同延拓高度对图3a所示的重力异常的分离结果。随着延拓高度增大，区域重力异常越来越平缓，而剩余重力异常幅值逐渐增大。当给定某一延拓高度时（如图4中上延10 km），区域重力场与深部界面的理论重力异常（图4b中黑色实线）形态和幅值变化十分接近，但二者相差一个常数背景，由系位场分离方法本身数学原理引起。为便于对比，将深部界面的理论重力异常减去常数背景进行调整，结果如图4b中黑色虚线所示，此时向上延拓分离得到的区域场与之较为吻合。由图4a同样可以看出，分离的剩余场亦能较好地反映浅层密度界面的特征。

然而，以上各位场分离方法以数学原理为关键，计算结果并非均具有明确的地球物理意义[69]。更重要的是，实测重力异常往往包含不同频率的重力成分，尤其在构造复杂区域，深部界面与浅部界面叠加后重力异常并非能明显地体现区域背景和剩余异常，此时，仅依靠数学方法很难分离出某个特定密度界面引起的重力异常（图5和图6）。

图3

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图3   2个界面组成的简单二维模型及其引起的重力异常（密度单位：g/cm3）

Fig.3   The gravity anomaly cause by a 2D simple model consist of two density interfaces(unit of density: g/cm3)


图4

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图4   简单二维模型重力异常不同高度解析延拓法分离结果

Fig.4   The separating result of gravity anomaly in Fig. 1a using the analytic continuation method with different height

（a）剩余重力异常；（b）区域重力异常

(a) The residual gravity anomalies; (b) The regional gravity anomalies


图5a所示的重力异常由一个4层密度界面组成的复杂模型（图5b）引起，该模型中有4个规模不等的局部密度体。显然，重力异常的高低变化与4个界面均无明显的关系。利用解析延拓法、频率域滤波法、趋势分析法对该重力异常进行处理，以期得到最深部界面引起的重力异常，结果如图6所示。当选择一定的参数时，不同位场分离方法的结果（灰色虚线）形态较为相似，只是幅值不同，但均与深部界面的理论重力异常（黑色实线）差别非常大。

图5

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图5   4个界面和局部密度体组成的复杂二维模型及其重力异常

Fig.5   The gravity anomaly cause by a 2D complex model consist of four density interfaces and a few local geological bodies


图6

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图6   不同位场分离方法得到的复杂二维模型区域重力异常

Fig.6   The regional gravity anomalies obtained by different potential field separation methods

（a）解析延拓（上延15 km）；（b）频率域滤波（系数为10）；（c）趋势分析（阶次为5）

(a) The analytic continuation method (15 km upward continuation); (b) Filter in frequency domain (the parameter is 10); (c) The trend analysis method (the order number is 5)


3.1.2 密度界面重力异常分离策略

对于仅依靠数学方法提取界面重力异常的不足，若有少量的先验信息作为约束，则可提高位场分离的精度。最常用的方法是利用少量已知深度点内插得到界面的初始形态，之后进行正反演迭代不断地消除剩余重力异常而分离出该界面的重力异常[8,70]。Leão等[9]利用个别孤立已知点作为先验信息，采用向下延拓分离界面的重力异常。Golubev等[71]和郭良辉等[72]提出了重力异常分离的相关法，该方法由测点坐标的多项式方程构建区域场，由观测异常计算剩余异常，根据最大化已知测点的目标密度界面深度与剩余异常的互相关原则来分离重力异常。

当目标界面的起伏较小或其相对起伏远小于界面平均深度时，以上方法能取得一定的效果。然而当地质条件复杂时，目标界面不一定符合这一特征。另外，当地质目标为多层密度界面时（如图5所示情形），简单地将重力异常分离为剩余异常和区域异常并不能客观反映某一界面的特征。在实际应用时，可利用不同的位场分离方法提取剩余异常，然后在界面已知深度点约束下反演该界面深度，之后正演消除该界面重力异常，重复这一过程，直到得到所有界面的深度。这一思路能有效得到由浅至深多个界面的深度，但结果的准确度依赖于已知界面深度先验信息。

3.2 密度界面上下密度差

3.2.1 界面上下密度差变化规律

密度界面反演方法最初提出时，均采用常密度模式。界面上下密度差可根据实测岩石密度、地震速度—密度转换、测井资料等确定。若密度差选择不准确，则会造成密度界面反演结果“过剩”或“不足”。此外，受沉积作用、压实作用、胶结作用等影响，沉积岩石的密度随着其埋深而增加，并且在浅部增加较快而在深部增加较慢[73]，故Cordell[44]利用指数函数拟合了密度差随深度的变化。此外，亦有学者提出了其他密度变化规律，包括线性密度函数[42]、二次多项式密度函数[15]、三次多项式密度函数[43]、抛物线密度函数[45]和双曲线密度函数[46]。

以上6种密度变化规律均为密度只随深度的一维变化，若地表密度差处处相同，则将其用于密度界面反演时，其实质为各密度层为水平地层。针对一维密度变化的局限性，一些学者提出了密度同时沿水平和垂直2个方向变化的二维密度变化规律[74]和三维密度变化规律[75]，其为多项式形式。然而，亦并非适用于所有情形。例如受构造作用的影响，沉积盆地内部各地层形态变化较大，并且在盆地边部以及内部某些构造部位常发生地层缺失的现象。柴玉璞等[76]针对沉积盆地的密度变化特征提出了基底控制型密度变化模式，但需要根据地震、钻井等资料确定全区统一的密度控制参数。因此，对绝大多数沉积盆地而言，现有密度变化规律并不能准确表达沉积层的分布特征。

3.2.2 界面密度差变化规律建立策略

对于密度界面如沉积盆地基底的反演，需要考虑受沉积作用和构造作用的影响，虽然地层并非水平等厚分布，但同一套地层的密度在横向上变化往往不大，而各地层在垂向上的变化可用密度仅沿垂向的变化因子控制。因此，在反演盆地基底或其他密度界面时，可利用沿水平方向变化的地表密度差和不同垂向变化因子组合而近似盆地内部沉积岩石密度变化，其可提高准确性。

以上方法的关键在于利用6种一维密度变化函数确定不同位置地表密度差及垂向变化因子。滕龙等[77]认为双曲线密度函数和抛物线密度函数更接近沉积层真实密度变化，但实际上对于不同的研究区或者不同水平位置，不同密度变化函数的拟合效果不同。例如图7为渭河盆地2个水平坐标不同点处6种函数的拟合情况，可以看出2个点处各地层密度和厚度不同，而6种密度变化函数的拟合结果也不同。经误差统计，图7a中指数密度函数拟合最好，而图7b中三次多项式密度函数拟合最好。为确定研究区统一的密度变化规律，可根据多点的拟合情况，选择整体拟合误差最小的密度变化函数，以得到不同位置地表密度差及垂向变化因子，进而得到研究区三维密度变化规律。

3.3 先验约束信息

3.3.1 先验约束信息的来源

重力数据横向分辨力较高，但其纵向分辨力较弱，这是重力异常本身的物理原理造成的。若待反演的重力异常为该密度界面引起的“纯”重力异常，则反演结果较为准确，界面深度不会出现明显的误差。然而，密度界面的反演往往涉及位场分离、界面上下密度差的确定等问题，因此，若要提高密度界面反演的准确性，最好能结合先验约束信息。

对于密度界面反演而言，最直接的先验约束信息为待反演界面局部区域的深度，准确的约束信息可依据钻井资料获得。但大多数情况下，由于待反演界面深度太大等原因，可能没有钻遇目标界面的钻井，此时，若有其他地球物理资料能揭示目标界面深度（如地震、电测深等），也可作为界面已知深度约束信息。需要注意的是，在使用时一定要对界面深度的准确性进行评估，在保证先验资料可靠的前提下用以约束密度界面反演。

图7

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图7   渭河盆地6种密度深度函数拟合结果

Fig.7   The six fitted density-depth functions in Weihe Basin

（a）和（b）为不同水平位置的点

(a) and (b) denote the two different points


3.3.2 先验约束信息的使用策略

上文已讨论了先验约束资料用于密度界面重力异常的分离。关于先验约束资料在密度界面反演方面的应用，最常用的措施是界面已知深度参与反演迭代的每一次计算，在每一次迭代中保证已知深度点处的反演深度与已知深度误差最小。这一措施常见于正则化方法，在反演时建立已知深度与反演结果之差的L2-范数形式的约束函数，如公式（7）所示。该措施将深度约束函数与其他约束一起构建统一的目标函数，具有明确的数学—物理意义。更重要的是，可以根据已知深度资料的准确度给定不同正则化因子，这对于反演而言更为合理。

除以上措施外，亦可根据先验信息对每一次迭代结果进行调整。在约束时通常将先验信息用于区域软约束，控制反演结果的整体趋势。当控制点处反演结果与已知深度偏差小于一定限度时接受该模型，当控制点处反演结果与已知深度偏差大于一定限度时，将模型进行整体调整，可有效避免局部畸变[10,23]。

3.4 密度界面与地质构造界面的关系

3.4.1 位场分离结果、重力反演的密度界面及其与地质构造界面之间的关系

当地质构造界面上下存在密度差时，就构成了密度界面，如沉积盆地基底和莫霍面等，诸多研究成果已证实其起伏形态可通过密度界面反演进行刻画。理论上讲，所有的密度界面深度均可根据重力异常反演而得。但重力异常是由地质体在横向上存在密度差所引起，因此，若某一界面上下的密度差非常小或其相对起伏变化非常小，其不会引起明显的重力异常，无法利用重力异常准确地反演该界面起伏形态。例如，不同时代同一岩性的地层分界面，其为地质界面，但界面上下岩性相同，一般而言密度差很小，不能构成密度界面，无法利用重力反演其起伏形态。此外，若某一地层界面具有较明显的密度差，但其接近水平形态，亦无法根据重力异常确定其深度。综上所述，并非所有的地质构造界面都为密度界面。

另一方面，一些密度界面可能并非对应地质构造界面，主要表现在地质界面很难界定的区域。众所周知，将地球划分为地壳和地幔的莫霍面是地球浅表层最重要的一个地球物理界面，其上下也存在明显的密度差（平均密度差约为-0.5 g/cm3），故莫霍面也为公认的密度界面。然而，由于地壳的复杂性，尤其在慢速和超慢速扩张的洋中脊上，不存在广泛连续的洋壳层状结构[78]，地壳和地幔之间可能为复杂的过渡带而并非明显的岩性分界面，此时，很难解释根据重力反演的莫霍面究竟对应洋壳的哪个部位。

一般而言，只要满足重力勘探的物理基础，可以利用位场分离方法较准确地提取待反演密度界面的重力异常，在先验信息约束下，利用此重力异常可得到密度界面的深度，也具有明确的地质意义。然而某些情形下，尽管地质构造界面上下存在明显的密度差，并且其相对起伏也较为明显，但也并非均可通过现有密度界面反演方法而得到其较准确的形态。例如图5中自左至右的第3个侵入体，由于其存在顺层侵入的部分，形态较为复杂，尽管利用位场分离方法得到的剩余重力异常表现为局部重力高，能反映该侵入体的大致位置和形态，但重力异常变化无法呈现侵入体边界局部变化特征差别，故无法利用此重力准确刻画岩体边界。

若将重力异常及其下半空间构成一个封闭的区域，则此重力异常闭合空间在垂向上为凸集。因此，对于密度界面反演，采用的理想剖分模型为垂直并置的棱柱体，意味着待反演的密度界面所构成的闭合空间应为凸集。然而，形态复杂的岩体边界或部分地质构造界面所形成的密度界面并非凸集，这是出现以上问题的最根本原因（图8）。

图8

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图8   非凸集密度界面模型及其与直接迭代法反演结果对比

Fig.8   Non-convex set density interface model and its comparison with the inverted result using the Bott’s method


3.4.2 提高密度界面反演结果与地质构造界面吻合度的策略

为提高密度界面反演的准确性，使密度界面反演结果具有明确的地质意义，可加强以下2个方面的研究：①分析研究区地质构造特征和岩石密度特征，明确研究区存在的、会引起实测重力异常变化的密度界面，并结合已知构造进行密度界面重力异常正演及位场分离，确保位场分离结果与地质构造界面的一致性；②对于复杂形态的侵入岩体表面等非凸集界面的反演，现有反演方法准确度不够，可发展新的界面模型剖分方式（如三角网剖分等），并发展新的反演迭代中模型修改量的计算方式，例如按模型节点的空间位置计算每一次迭代修改量等。当然，其难度远大于现有反演方法，仍有许多细节需要研究。

4 密度界面反演发展趋势

随着勘探目标愈加复杂，传统单一地球物理方法已不满足当前的勘探需求，并受到反演多解性的影响，使得联合反演成为密度界面反演研究的热点问题之一，得到了诸多研究和快速地发展。本文侧重于重力密度界面反演方法的回顾和展望，故对联合反演方法不再讨论。此外，有些情形下，研究区可能仅有重力数据而无其他地球物理数据，单独利用重力异常进行反演仍然是一个重要的研究方向。因此，本节仅从重力反演的角度，对未来密度界面的反演方法的发展进行展望。

4.1 大区域密度界面反演

随着重力场观测技术不断进步，如GRACE和GOCE等重力卫星的快速发展，密度界面反演逐渐趋于区域化或全球化，如全球范围的结晶基底深度或莫霍面深度反演。为实现这一目标，需要开展2个方面的研究。第一，当研究区范围较大时，必须考虑地球曲率的影响，平面直角坐标已不满足研究需要，需采用球坐标系甚至椭球坐标系；第二，大区域或全球密度界面反演涉及的计算量非常大，亟需研究提高反演速度的措施。

目前，关于球坐标系下的密度界面反演研究较少。汪汉胜等[40]通过球谐展开得到重力异常的级数展开式，并推导出积分形式的反演迭代解，实现了球坐标系下深部大尺度单一密度界面的重力反演。Wieczorek等[79]研究了Parker-Oldenburg FFT算法等效的球谐系数法，并应用于月球地壳厚度反演。Reguzzoni等[80]将地震全球地壳模型CRUST2.0与GOCE卫星重力数据结合，在球坐标系下完成了全球莫霍面和地壳厚度的反演。Uieda等[81]将直接迭代法与光滑正则化方法结合进行了球坐标系下南美洲莫霍面深度反演。

在平面直角坐标系下密度界面反演时，通常采用垂直并置的棱柱体来剖分待反演界面之上的介质，用棱柱体的底面深度近似密度界面的深度。棱柱体重力异常正演计算方法已非常成熟，而在球坐标系下需要使用球面柱体（或球锥）剖分密度界面，其关键之一在于必须用数值方法计算其重力异常。目前已有一些方法，如泰勒级数和高斯—勒让德正交等，但是在计算时，如何保证计算数值的稳定性是未来需要解决的问题。

提高计算速度一直是地球物理反演研究的重点之一。在密度界面反演方面，现有提高计算效率的措施主要包括并行计算技术[22,33]、加快正演计算速度以提高反演效率[34,35]以及简化迭代反演过程[47]等。随着重力观测手段的不断丰富以及地质勘探需求的增加，现有措施能否适应是一个需要考虑的问题。未来随着云计算等技术的快速发展，大数据量的重力反演计算问题应该会得到很好的解决。

4.2 精细反演

现有反演方法大多只能得到光滑形态密度界面，但由于地质构造的复杂性，实际的密度界面多呈非光滑形态或光滑与非光滑同时存在的特征，甚至呈现非凸集形态。因此，大多数密度界面反演方法得到的结果仅为真实界面的“模糊”反映。随着地质勘探目标难度逐渐增大，以往近似的密度界面反演方法已不能满足研究需要，亟需发展精细的密度界面反演方法。

通过现有密度界面反演方法的原理分析及效果对比，仅有正则化方法可以通过模型约束函数控制相邻剖分界面模型的变化规律，使其符合地质特征，并可通过已知深度约束函数确保反演结果接近真实深度。因此，对于密度界面的精细反演，需优先发展正则化反演方法，这里用一个实例说明这一问题。图9为正则化方法与直接迭代法反演的渭河盆地西安凹陷基底深度，渭河盆地为新生代裂陷盆地，基底受断裂控制。直接迭代法反演结果（图9a）为光滑界面，显然正则化反演方法的结果（图9b）更加精细，反映出基底受断裂（图9c中A，B和C的位置为经地震剖面证实的断裂位置）控制的特征。

目前，正则化密度界面反演技术已能解决光滑形态或非光滑形态的密度界面反演问题，且对于光滑与非光滑特征同时存在的密度界面反演问题也有一些研究，但该方面的研究非常少。Lima等[82]将光滑反演与模型解释结合而刻画了受断裂控制的二维沉积盆地的基底形态；Sun等[32]提出了一种基于可调整的Lp-范数的二维反演方法，同时反演光滑和非光滑界面；Feng等[31]利用归一化总水平导数垂向导数将L1-范数和L2-范数结合起来作为模型约束函数，实现了裂陷盆地基底三维反演。

图9

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图9   渭河盆地西安凹陷不同方法反演结果（据参考文献[31]修改）

Fig.9   The inverted basement of Xi’an Sag in Weihe Basin using different inversion methods（modified after reference[31]）

（a）直接迭代法反演结果；（b）正则化方法反演结果；（c）剖面对比，剖面位置如（b）中红色实线所示

(a) The result with Bott’s metod; (b) The result with regularization method; (c) The comparison of different inverted results along the profile denoted in red solid line in（b）


除光滑与非光滑特征同时存在的密度界面反演之外，非凸集形态密度界面的反演也是需要解决的一个重点问题。上文已对此进行了讨论，这里不再赘述。密度界面精细反演的本质在于利用重力异常客观地呈现界面的各种起伏形态，而重力场本身为连续场，因此，需要尽可能地结合已知信息（如地质资料、钻井或其他地球物理资料等）作为约束进行反演。重力资料的优势在于易获取、经济、覆盖面广，往往应用于其他资料（如地震等）较少、研究程度较低的区域，因此，反演方法研究的重点和难点在于如何利用少量的资料作为约束以提高反演精度，并研究新的模型剖分方式及每次迭代时模型修改量的计算技术，实现密度界面精细反演。

4.3 多层密度界面反演

本文总结的密度界面反演方法均为单界面反演方法，这也是目前研究和使用较多的界面反演方法，反演之前需先从实测重力异常中分离出目标界面所引起的重力异常。若直接可以反演得到观测面以下所有密度界面的起伏形态（即多层密度界面反演），则可减小甚至避免位场分离带来的误差。

关于多层密度界面反演的研究较早，但研究成果并不多。王万银等[83]提出了基于Parker算法的双界面模型重力场正反演方法，该方法使用上、下2个界面刻画地质体的形态，其比Parker-Oldenburg方法更为合理，但在反演时需要给定上界面或下界面中的其中一个来反演另一个，实质也为单界面反演方法。朱自强等[51]利用拟神经网络BP算法同时反演2个三维密度界面，该算法的关键在于2个界面迭代修改量的分配，需要根据收敛速度和控制条件的符合程度而确定。王笋等[84]研究了空间域直接反演多层密度界面的方法，该方法由地震等资料构造分层界面模型与参数控制，运用光滑约束保证反演的稳定性，并应用遗传算法求解目标函数的极小化问题。Xing等[85]研究了基于多种约束的2.5D多层密度界面正则化反演方法，与参考文献[84]的方法类似，亦需要根据钻孔等资料给定每个界面的深度及厚度范围信息。

从现有研究成果来看，若先验资料较为全面（至少可构建出每个界面的深度变化范围），则可利用重力实现2个界面甚至3个界面深度的同时反演。尽管利用单个界面的深度范围约束可减小反演的误差，然而在反演迭代时如何分配每个界面深度的迭代修改量仍然是一个较难的问题，尤其是三维反演，其更难实现。实际地质构造往往较复杂，并可能存在某些界面局部缺失的情形，此时如何准确反演符合地质构造特征的密度界面是反演的重点和难点。除考虑构建多界面模型及计算迭代修改量之外，在已知深度控制下的逐层剥离及反演也不失为一个好的选择。

5 结 语

密度界面反演一直是重力学研究的主要内容，其已在区域构造研究、资源能源勘探、地震防灾减灾等方面发挥越来越重要的作用。密度界面反演方法可分为频率域和空间域2种，频率域反演方法主要为Parker-Oldenburg法以及在此基础上的一些改进方法，其优势在于计算速度较快；空间域反演方法种类较多，包括直接迭代法、脊回归法和正则化方法等，其可方便地添加多种约束条件，有利于反演不同形态的密度界面。

密度界面反演方法受位场分离精度的影响较大，应尽量利用已知信息作为约束分离目标界面的重力场，或采用逐层分离的方法。待反演界面上下的密度差对于反演结果影响亦很大，构造复杂时，需尽可能构建密度差的三维变化以提高反演的精度。先验约束信息可提高密度界面反演的精度，除应用于位场分离之外，亦可应用于反演迭代过程之中。更重要的是，需明确反演的密度界面与地质构造界面的对应关系，其为正确利用密度界面反演结果解决地质问题的关键。

随着重力观测手段的逐渐丰富以及研究目标的多样化（例如月壳厚度甚至其他星球岩石圈厚度等），今后需研究适用于大区域或全球尺度的密度界面反演方法。随着地质目标勘探难度的增大，亦亟需研究符合构造特征的精细单密度界面反演方法，并发展多层密度界面反演技术。

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