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地球科学进展, 2019, 34(1): 103-112 doi: 10.11867/j.issn.1001-8166.2019.01.0103

基于ICA的引潮力互相关谱分析

邢德钊,, 全海燕,*,*

1. 昆明理工大学,信息工程与自动化学院,云南 昆明 650500

Independent Component Extraction and Cross-correlation Spectrum Analysis of Gravity Tide Signal

Xing Dezhao,, Quan Haiyan,*,*

1. Kunming University of Science and Technology, Faculty of Information Engineering and Automation, Kunming 650500, China

收稿日期: 2018-09-13   修回日期: 2018-12-08   网络出版日期: 2019-02-26

基金资助: 国家自然科学基金项目“提取重力固体潮信号中地球物理信息和地震前兆信息的关键信号处理算法研究”.  编号:41364002

Received: 2018-09-13   Revised: 2018-12-08   Online: 2019-02-26

作者简介 About authors

邢德钊(1992-),男,河北深泽人,硕士研究生,主要从事数字信号处理与地球物理信息研究.E-mail:1329459095@qq.com , E-mail:1329459095@qq.com

全海燕(1970-),男,云南石屏人,副教授,主要从事信号与信息处理、智能优化决策、地球物理信息等研究. , E-mail:quanhaiyan@163.com

摘要

重力固体潮信号包括日波、半日波和年波、月波谐波分量,但是日波和半日波分量能量相对强,年波和月波分量能量相对较弱。为了有效提取出这些有较大能量差异的谐波分量,并揭示它们间的调制关系,根据重力固体潮的产生机理,采用一种重力固体潮信号分解模型,将强度不同的潮汐谐波分量以独立成分的形式,分解到不同的正交方向上。同时,利用一种新型的优化算法,改进独立成分分析算法,并将不同正交方向的独立分量进行分离。在对独立成分分量的谱相关分析中,自相关运算会使强的分量更强,而弱的分量更弱,针对这一问题,采用独立成分间的互相关谱,来揭示重力固体潮信号中谐波分量间的调制关系。实验结果表明,提出的算法,不但从加性分解的角度有效分离了重力固体潮信号中强度差异比较大的独立成分,而且基于互相关谱,揭示了相应潮汐谐波间的乘性调制关系。

关键词: 重力固体潮 ; 智能优化算法 ; 独立成分分析 ; 乘性解调 ; 互相关谱

Abstract

The gravity solid tide signal includes daily wave, half-day wave and annual wave and moon wave harmonic component, but the energy of day wave and half-day wave component is relatively strong, and the energy of annual wave and moon wave component is relatively weak. In order to effectively extract these harmonic components with large energy differences and reveal the modulation relationship between them, according to the cause of gravity tide, a gravity solid tide signal decomposition model is used to compare the tidal harmonic components with different strengths. The form of the independent component is decomposed into different orthogonal directions. At the same time, a new optimization algorithm is used to improve the independent component analysis algorithm and separate the independent components of different orthogonal directions. In the spectral correlation analysis of the components of independent components, the autocorrelation operation will make the strong component stronger and the weak component weaker. For this problem, the cross-correlation spectrum between independent components is used to reveal the gravity tide signal., the modulation relationship between harmonic components. The experimental results show that the proposed algorithm not only effectively separates the independent components with large intensity difference in the gravity tide signal from the perspective of additive decomposition, but also reveals the multiplicative modulation relationship between the corresponding tidal harmonics based on the cross-correlation spectrum.

Keywords: Gravity solid tide ; Intelligent optimization algorithm ; Independent Component Analysis ; Multiplicative demodulation ; Cross-correlation spectrum.

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本文引用格式

邢德钊, 全海燕. 基于ICA的引潮力互相关谱分析. 地球科学进展[J], 2019, 34(1): 103-112 doi:10.11867/j.issn.1001-8166.2019.01.0103

Xing Dezhao, Quan Haiyan. Independent Component Extraction and Cross-correlation Spectrum Analysis of Gravity Tide Signal. Advances in Earth Science[J], 2019, 34(1): 103-112 doi:10.11867/j.issn.1001-8166.2019.01.0103

1 引 言

月球和太阳对地球的引潮力会引发地球固体表面的周期性形变,称为固体潮,其中,重力方向的为重力固体潮[1]。地球固体的周期性形变会引发地壳各种参数的变化,如自转角度、重力和地面角度等[2]。重力数据等在资源勘探、国家安全和军事等领域具有重要的价值[3]。固体潮是能预先计算出的高精度地球物理现象,对固体潮的研究,是我们探索地球内部的重要途径[4]。近几年,许多专家认为固体潮与地震有一定触发联系[5],所以,对固体潮进行深入研究有重要意义。

目前,广泛使用的固体潮的分析方法主要有调和分析法、希尔伯特黄变换和小波变换等[6,7]。这些方法可以分解重力固体潮信号的一些谐波分量,但这些谐波分析方法是基于谐波周期的,且谐波分量不能映射到重力固体潮产生机制[8]。因此,只提取出了潮汐谐波,没有分析潮汐谐波间的叠加和调制关系。

由于重力固体潮信号包括日波、半日波和年波、月波谐波分量,日波和半日波分量能量相对强,年波和月波分量能量相对较弱[1],所以年波、月波信号很容易被湮没。为了更好地对重力固体潮信号进行分析,必须对重力固体潮信号进行分解,将强弱信号进行分离。本文依据重力固体潮信号的产生机理,采用一种重力固体潮三维正交分解模型,应用独立成分分析(Independent Component Analysis,ICA)对信号进行加性分解,再对正交的独立成分分量进行基于互相关的谱分析,凸显弱的潮汐谐波分量,并分析潮汐谐波间的乘性调制关系。

利用ICA分解出多路信号,有利于后续对分解后的独立分量做基于互相关的谱相关分析,避免一路信号只能做自相关,强信号屏蔽弱信号的问题。

在对独立成分分量的谱相关分析中,自相关运算会使强的分量更强,弱的分量更弱,针对这一问题,本文采用独立成分间的互相关谱,实现更高分辨率的谱相关分析,来揭示重力固体潮,谐波分量的调制关系。

2 重力固体潮正交分解模型

根据重力固体潮信号的产生机理,本文以地球受到的太阳的引潮力为例进行分析,地球受到的月球的引潮力与此类似。当地球围绕太阳旋转时,两者之间的距离会发生改变,反映了地球受到的太阳的引力,即太阳的引力潮[1]。本文的重力固体潮信号分解模型如图1所示。在地球观测点A处受到的太阳的潮汐力,可以被正交分解为重力固体潮信号Fg和地面倾斜固体潮信号FhFg可以被正交分解为平行于赤道平面的信号分量F1和平行于地球自转轴的信号分量F2F1又可以正交分解为2个信号分量F11F12(在平行于赤道平面的同一平面内)。F2由于和地球自转轴平行,因此只受地球公转和月球公转影响,不受地球自转影响,主要包含年波、半年波、月波和半月波。F1除了受地球公转和月球公转的作用,还受地球自转的影响,所以包含年波、半年波、月波、半月波、日波和半日波。

图1

图1   重力固体潮正交分解模型

Fig. 1   The orthogonal decomposition model of Gravity Earth Tide signal


3 基于一种新型智能优化算法的ICA

由于地球、月球和太阳共同形成的重力固体潮信号,本文采用ICA对混合信号进行分解。

ICA是盲源信号的主要分析方法,基于独立性判据建立优化准则,并选择优化算法令目标函数趋于极大值或极小值的过程,使分离的独立分量最大限度地趋于原始信号[9,10]

由于重力固体潮各阶累积量的特点,并且因为独立成分分析的性能受评价函数的影响较大[11]。因此选取的目标函数(优化准则)为Fitness=Ey4-3(Ey2)2,即求取y的峭度值[12],峭度是随机变量的四阶累积量。原理图如图2所示。

2中,S(t)为观测到的混合信号(s1,s2,,sn)T,通过去均值、白化得到Z(t),再利用优化准则和优化算法得出解混矩阵K,通过y(t)=K×Z(t),得到原始信号y(t)

去均值和白化利用的是经典的特征值算法。求解解混矩阵K,本文采用一种基于单形邻域与多角色进化策略的智能优化算法[13],该算法具有粒子随机性、多角色态的特点,只有群体数量一个参数,相对于其他优化算法,鲁棒性强。

图2

图2   ICA解混原理图

Fig.2   Procedure of ICA


4 基于互相关的谱相关分析

重力固体潮是地球受太阳和月亮的作用引起的近似黏弹性形变现象,它是一个非平稳过程[4]。在对独立谐波分量谱相关的研究中,由于日波和半日波分量能量相对强,年波和月波分量能量相对较弱[1];在对独立成分分量的谱相关分析中,自相关运算会使强的分量更强,而弱的分量更弱,给分析造成困难。针对这一问题,本文采用独立成分间的互相关谱,以实现更高的分辨率,来揭示重力固体潮信号中,谐波分量间的调制关系,也更有利于后续分析。

基于互相关的谱相关分析一般理论如下[14,15,16]

{y1(t)}为零均值的非平稳复信号,{y2(t)}为另一路零均值的非平稳复信号,2路信号的互相关函数可表示为:

Ry1y2(t,τ)=E[y1(t+τ/2)y2*(t-τ/2)]

式中:()*表示复共轭。

Ry1y2(t,τ)周期为T0,则:

Ry1y2(t,τ)=limN12N+1y1(t+nT0+τ/2)y2×(t+nT0-τ/2) ,

式中:n为循环频率谐波次数,τ为时移,t为时间,N为循环频率次数上界。将公式(2)用Fourier级数展开如下:

Ry1y2(t,τ)=n=-Ry1y2a(τ)ej2πat

式中:a=n/T0,Ry1y2a(τ)Ry1y2(t,τ)的Fourier系数,

Ry1y2a(τ)=limT1T-T/2T/2y1(t+τ/2)y2*(t-τ/2)e-j2πatdt=y1(t+τ/2)y2*(t-τ/2)e-j2πatt,

式中:Ry1y2a(τ)为信号y1(t)y2(t)的循环互相关函数,a=n/T0二阶循环频率。对互相关函数做傅里叶变换,得到:

Sy1y2a(f)=-Ry1y2a(τ)e-j2πfτdτ,

式中:τ为时移,f为时移对应的频率。Sy1y2a(f)循环谱密度,是关于循环频率a和频率f的双平面函数。

5 基于ICA的引潮力互相关谱分析

本方法主要是ICA算法与互相关谱分析,包括4个步骤,流程图如图3所示。

(1)获取观测点处的重力固体潮信号。为了便于计算,本文选取同一经度、不同纬度的3路重力固体潮信号。

(2)对混合信号S(t)进行去均值、白化得到Z(t)将粒子群的m个粒子初始化,即将每个粒子对应于一个正交的分离矩阵K(0),并生成m个随机的正交分离矩阵。利用每个粒子对应的正交的分离矩阵K(c),进行粒子到邻域的搜索,得到最新的正交分离矩阵K(c+1)利用最新获得的正交分离矩阵K(c+1),实现白化信号Z(t)的变换,得到最新的分离信号y(t)根据目标函数(优化准则),求取各个粒子对应的最新的评价函数值,根据评价函数值,得到各个粒子不同角色态所对应的正交分离矩阵K(c+1),记录最好粒子所对应的正交矩阵K*。若最好粒子所对应的评价函数值已经收敛至不变,则跳到步骤,否则跳到步骤,并进行下一次的搜索评价。Z(t)再与解混矩阵K*进行运算,得到解混输出信号y(t)

(3)对解混输出信号y(t)做傅里叶变换,然后利用公式(4)和(5)对其进行处理,实现信号的乘性解调。

(4)读取重力固体潮信号中相应的物理信息,并结合潮汐谐波理论计算值[17]进行对比分析(详见下文),进而求出各谐波分量间的调制关系。

图3

图3   ICA与互相关谱分析流程图

Fig. 3   Flow chart of ICA and cross-correlation spectral analysis


6 实验结果分析

为了充分考虑改进的独立成分分析算法的一般性,选取任意时间段、任意经纬度的重力固体潮信号作为输入信号。因此采用重力固体潮信号的实际值不现实,所以选用重力固体潮信号理论值作为输入信号。这并不影响该方法的有效性。其中理论值由封闭算法计算而得[18,19,20,21,22,23]。实验选取了同一经度、不同纬度的3个观测点(130°E,20°N)、(130°E,25°N)和(130°E,30°N),对观测点处重力固体潮信号进行分析,时间为2000年1月1日到2002年7月1日。

在采样频率为每小时一个样本点,采样长度为2年半的情况下,测得昆明地区的重力固体潮信号如图4所示。

图4

图4   昆明地区重力固体潮信号

Fig. 4   Gravity solid tidal signal of Kunming


通过本文的基于单形邻域与多角色进化策略的智能优化算法得到的独立分量为y1(t),y2(t)y3(t)(图5),本实验的迭代次数为50次。

由图5可知,通过ICA算法可以将重力固体潮信号分解成3路独立分量信号,对其频谱进行分析,可知y3(t)中包含长周期波分量,半日波分量被完全筛选到y1(t)上,日波分量被完全筛选到y2(t)上,对比上文的重力固体潮信号三维正交分解模型,可知y3(t)在地球自转轴方向,y2(t)y1(t)在地球的赤道平面平行的方向。

为了验证基于互相关的谱相关分析的先进性,本文首先对分解出的3路独立分量y1(t)y2(t)y3(t)进行自相关谱分析,可以将信号乘性解调,得到其等值线(图6,横坐标为载波频率,纵坐标为调制频率),每个谱峰点意味着该频点处存在1个频率间的调制关系,谱峰的位置即存在调制关系的载波频率和调制频率的位置。由于谱相关图具有对称性,只选取了谱相关图的对称的正频部分,将图6谱峰点读出并制于表1

图5

图5   ICA独立分量波形图

Fig. 5   Waveform of independent component of ICA


图6

图6   y1(t) ,y2(t)和y3(t)的自相关谱

Fig.6   Autocorrelation spectrum of y1(t),y2(t) and y3(t)


由表1可知,重力固体潮信号是通过乘性调制的方式调制的,自相关谱分析实现了信号的乘性解调,谱相关点解调后的线性和频与线性差频,对应于潮汐谐波频率理论计算值[17]。这表明通过自相关谱分析,可证明独立谐波分量间存在调制的关系。但自相关运算会使强的分量(日波、半日波)更强,而弱的分量(长周期波)更弱,因此只能采集到较强但较少的谐波分量,因而不能完整地揭示重力固体潮信号各独立谐波分量间的调制关系,也不利于下一步的分析和研究,因此,本文又采用独立成分间的互相关谱进行分析,来揭示重力固体潮信号中,谐波分量间的调制关系。分别将y1(t)y2(t)y2(t)y3(t)y1(t)y3(t)进行互相关谱分析,得到的结果如图7所示。

表1   y1(t) ,y2(t)和y3(t)的自相关谱分析

Table 1  Autocorrelation spectrum analysis of y1(t) ,y2(t) and y3(t)

乘性调制频率/Hz解调对应的潮汐谐波频率/Hz潮汐谐波频率理论计算值/Hz

f11=2.411×10-7

a11=1.777×10-7

F1=f11+a11=4.188×10-74.2004×10-7
F2=f11-a11=6.34×10-86.3377×10-8

f12=4.569×10-7

a12=3.934×10-7

F3=f12+a12=8.503×10-78.4725×10-7
F4=f12-a12=6.35×10-86.3377×10-8

f13=6.345×10-7

a13=2.157×10-7

F5=f13+a13=8.502×10-78.4725×10-7
F6=f13+a13=4.188×10-74.2004×10-7

f21=2.275×10-5

a21=3.934×10-7

F7=f21+a21=2.3143×10-52.3148×10-5
F8=f21-a21=2.2357×10-52.2364×10-5

f31=1.157×10-5

a31=3.807×10-8

F9=f31+a31=1.1608×10-51.1606×10-5
F10=f31-a31=1.1532×10-51.1542×10-5

f32=1.118×10-5

a32=4.188×10-7

F11=f32+a32=1.1599×10-51.1606×10-5
F12=f32-a32=1.0761×10-51.0759×10-5

f33=1.115×10-5

a33=3.934×10-7

F13=f33+a33=1.1543×10-51.1542×10-5
F14=f33-a33=1.0757×10-51.0759×10-5

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图7

图7   y1(t),y2(t)和y3(t)的互相关谱

Fig.7   Cross-correlation spectrum of y1(t),y2(t) and y3(t)


由图7和图6对比可知,在分析载波频率和调制频率的关系的过程中,基于互相关的谱相关分析较自相关谱,图像分辨率显著提高,可以得到更多的谱峰点,进而采集到更丰富的数据用于分析,证明互相关谱分析相比自相关谱具有明显的优势。这是因为,在对独立成分分量的谱相关分析中,自相关运算会使强的分量更强,而弱的分量更弱,因此,图像会更突出高级数的谱峰点,而弱化低级数的谱峰点。而采用独立成分间的互相关谱,会使强的分量相对减弱,而弱的分量相对增强,因此在实验中,能得到更多的谱峰点。由于图7中谱峰点密集,数据量大,因此选取了其中有代表性的谱峰点,将调制频率和载波频率读出制于表2

根据表2中重力固体潮信号谱峰点的调制频率和载波频率,得出相应的线性差频与线性和频,对应于潮汐谐波理论计算值,并且发现解调的潮汐谐波频率存在2种形式的调制:一是2个潮汐谐波频率直接调制,对应于表3的乘性调制谱相关点;二是2个潮汐谐波频率经线性和频与线性差频,再调制形成重力固体潮信号,对应于表3中的线性差频与线性和频谱相关点。

表2   y1(t),y2(t)和y3(t)的互相关谱峰点

Table 2  Cross-correlation peaks of y1(t),y2(t) and y3(t)

互相关谱峰点
1(5.863×10-6,5.799×10-6)2(5.774×10-6,5.711×10-6)3(6.015×10-6,5.596×10-6)
4(6.193×10-6,5.343×10-6)5(5.406×10-6,5.343×10-6)6(1.164×10-5,1.157×10-5)
7(1.16×10-5,1.154×10-5)8(1.181×10-5,1.14×10-5)9(1.203×10-5,1.118×10-5)
10(1.142×10-5,1.136×10-5)11(1.131×10-5,1.124×10-5)12(1.11×10-5,1.104×10-5)
13(1.1×10-5,1.094×10-5)14(1.161×10-5,1.076×10-5)15(1.695×10-5,6.193×10-6)
16(1.737×10-5,5.774×10-6)17(1.695×10-5,5.406×10-6)

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表3   y1(t),y2(t)和y3(t)的互相关谱分析

Table 3  Cross correlation spectrum analysis of y1(t),y2(t) and y3(t)

潮汐谐波理论计算值/Hz对应于乘性调制谱相关点对应于线性差频谱相关点对应于线性和频谱相关点
长周期波3.1687×10-8
6.3377×10-81,2,5,6,7,10,11,12,13
4.2004×10-73,8
8.4725×10-74,9,14
日波1.0338×10-5
1.0759×10-514155
1.1186×10-59
1.1511×10-582
1.1542×10-57174
1.1574×10-56
1.1606×10-57,14163
1.1637×10-56
1.1669×10-581
1.2026×10-59
1.2453×10-5
半日波2.1524×10-5
2.1580×10-5
2.1944×10-513
2.2000×10-512
2.2364×10-514,17
2.2728×10-511
2.2784×10-510
2.3116×10-5
2.3148×10-57,15,16
2.318×10-5
2.3212×10-56,8,9

注:空格表示此处的潮汐谐波频率值无直接或间接的乘性调制关系

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由表3可知,基于互相关的谱相关分析,虽然优势明显,采集到更丰富的谱峰点,但不能完整地对应潮汐谐波理论计算值,因为本文仿真生成的是contour图,所以对互相关频谱图进行了处理,即取了数条等值线,以令采集到的谱峰点可以对应更完整的潮汐谐波理论计算值,分析出完整的潮汐谐波频率间的调制关系。由于谱相关分布的对称性,取一个对称区间的分布进行分析研究即可,并且将这些谱峰点的载波频率和调制频率的数值标识在图8中。将图8中的谱相关点读出并制于表4,其中X为载波频率,Y为调制频率,Level表示循环谱密度。

图8

图8   y1(t),y2(t)和y3(t)的部分互相关谱

Fig. 8   Partial cross-correlation spectrum of y1(t),y2(t) and y3(t)


表4   y1(t),y2(t)和y3(t)的部分互相关谱分析

Table 4  Partial cross-correlation spectral analysis of y1(t),y2(t) and y3(t)

潮汐谐波理论计算值/Hz对应于乘性调制谱相关点对应于线性差频谱相关点对应于线性和频谱相关点
长周期波3.1687×10-85
6.3377×10-81,2,3,21,22
4.2004×10-723,24
8.4725×10-79,
日波1.0338×10-513
1.0759×10-54,11,1214
1.1186×10-54,1015
1.1511×10-5818
1.1542×10-5717
1.1574×10-56,819
1.1606×10-5716,20
1.1637×10-5621
1.1669×10-51124
1.2026×10-51023
1.2453×10-51222
半日波2.1524×10-52
2.1580×10-51
2.1944×10-517
2.2000×10-53
2.2364×10-513,15
2.2728×10-516
2.2784×10-59
2.3116×10-520
2.3148×10-55,19
2.318×10-514
2.3212×10-518

注:空格表示此处的潮汐谐波频率值不存在直接或间接的乘性调制关系

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由表4和表3对比可知,表4得到了比表3更丰富和完整的潮汐谐波频率间的乘性调制关系。证明潮汐谐波频率普遍存在乘性调制的关系。通过比较谱峰点的线性差频与线性和频,以及潮汐谐波理论计算值可知,潮汐谐波频率之间普遍存在间接乘性调制的关系。表现为长周期波以乘性调制的方式调制在半日波和日波上、日波以乘性调制的方式调制在半日波上。通过直接比较谱峰点的调制频率与载波频率和潮汐谐波频率理论计算值可以发现,主要是日波分量之间存在明显的直接乘性调制的关系。独立谐波分量之间存在2种乘性调制的关系(表4)。

由此可知,通过ICA和互相关谱分析,证明谐波分量间具有明显的直接或间接乘性调制关系。

7 结 论

在实验中,成功将重力固体潮信号分解为3路独立谐波分量:半日波谐波分量、日波谐波分量和长周期波谐波分量,并且分别对应于本文所采用的重力固体潮信号正交分解模型,长周期波分量对应于平行地球自转轴方向的分量,日波和半日波谐波分量对应于平行赤道平面的2个分量,说明各独立信号是通过正交线性叠加形成的重力固体潮信号。

在对分解得到的3路独立成分做互相关谱分析,相对于做自相关运算,可以得到更多的独立谐波分量的谱相关点,大大提高谱相关分析的分辨率。再通过和潮汐谐波频率理论计算值进行比较分析,发现潮汐谐波分量之间普遍存在直接或间接乘性调制的关系,由此证明了本文提出的算法,不但从加性分解的角度有效分离了重力固体潮信号中强度差异比较大的独立成分,而且基于互相关谱,揭示了相应潮汐谐波间乘性调制的关系,揭示出在重力固体潮信号中,潮汐谐波分量之间的叠加与调制方式。

参考文献

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