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地球科学进展, 2019, 34(1): 48-56 doi: 10.11867/j.issn.1001-8166.2019.1.0048

水系结构分形特征的研究进展

孟宪萌,1, 张鹏举1, 周宏2, 刘登峰3

1. 中国地质大学(武汉) 环境学院,湖北 武汉 430074

2. 中国地质大学(武汉)地质调查研究院,湖北 武汉 430074

3. 西安理工大学 水利水电学院,陕西 西安 710048

Recent Advances in Fractal Characteristics of River Network Structure

Meng Xianmeng,1, Zhang Pengju1, Zhou Hong2, Liu Dengfeng3

1. School of Environmental Studies, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China

2. Geological Survey of China University of Geosciences, Wuhan 430074, China

3. School of Water Resources and Hydropower, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China

收稿日期: 2018-09-21   修回日期: 2018-12-10   网络出版日期: 2019-02-26

基金资助: 中国地质调查局项目“清江水文地质调查”.  编号:DD20190327
中国地质大学(武汉)中央高校基本科研业务费专项资金资助项目“越流系统中咸水运移规律的研究”.  编号:CUG160205

Received: 2018-09-21   Revised: 2018-12-10   Online: 2019-02-26

作者简介 About authors

孟宪萌(1982-),男,河南洛阳人,副教授,主要从事水文水资源的研究.E-mail:mengxianmeng2000@sina.com , E-mail:mengxianmeng2000@sina.com

摘要

水系结构对流域调洪蓄水能力、区域景观格局、洪水径流过程和城市管网水网建设等有着重要的影响,定量描述水系结构特征是认识其结构变化规律的前提和基础。由于水系结构无特征尺度,使得分形理论在定量刻画其结构特征中得到广泛应用。通过归纳整理近年来国内外有关分形理论在水系结构特征方面的研究成果,对分形理论的发展进行了梳理,重点归纳总结有关水系分形结构的主要研究内容:水系分形模型的建立及特征参数的计算、水系分维影响因素的探究、水系分维的应用研究。针对3个主要内容分别进行了评述和探讨,指出分形理论在水系结构研究方面仍有广阔的应用研究价值和拓展空间,建立统一的水系分维数计算标准、开展多标度多影响因素下的水系分维研究,以及揭示水系分维数与相关物理现象中蕴含规律之间的关系将是未来的发展方向。

关键词: 水系 ; 自相似 ; 分形 ; 分维数 ; 影响因素

Abstract

The river network structure has a significant influence on the flood regulation and water storage capacity of watershed, landscape pattern in watershed, flood and runoff processes, and the construction of pipeline network for water supply and drainage. Quantitative description methods for the river network structure are the premise and basis for a deep understanding of its changing rules. As there is no characteristic scale in the river network, fractal theory is widely used in the description of the characteristics of river network structure. This paper summarized the current advancement in fractal characteristics of river network structure in three aspects: Establishment of fractal model for the description of river network structure and calculation of its parameters; Analysis of factors influencing the fractal dimension of river networks; Application of the fractal dimension of river networks. Based on the review and discussion from the three aspects, it is pointed out that the fractal approach is a theoretically attractive and potentially very effective framework in quantitative description and analysis of the river network structure. And the future direction is to propose a unified computation method for the fractal dimension, interpret multi-fractal characteristics of the river network structure, analyze the different influencing factors on the fractal dimension and reveal the relationship between the fractal dimension and the complicated regularities contained in physical phenomena.

Keywords: River network ; Self-similarity ; Fractal ; Dimension ; Influencing factors.

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孟宪萌, 张鹏举, 周宏, 刘登峰. 水系结构分形特征的研究进展. 地球科学进展[J], 2019, 34(1): 48-56 doi:10.11867/j.issn.1001-8166.2019.1.0048

Meng Xianmeng, Zhang Pengju, Zhou Hong, Liu Dengfeng. Recent Advances in Fractal Characteristics of River Network Structure. Advances in Earth Science[J], 2019, 34(1): 48-56 doi:10.11867/j.issn.1001-8166.2019.1.0048

1 引 言

水系是指流域内所有河流、湖泊等各种水体组成的水网系统。流域内存在着大量的自然水体和人工水体。自然水体主要包含河流、湖泊、湿地等,人工水体主要包含人工开凿的渠道、给排水管道和雨水管道等。水系结构的变化对流域调洪蓄水能力、区域景观格局、洪水径流过程、城市管网水网建设等有着重要的影响。深刻认识和把握水系结构特征的变化对水文水资源和地貌学等领域的研究具有重要的指导作用,而定量描述水系结构特征是认识水系结构变化规律的前提和基础。

定量描述水系结构特征的前提是找到其特征尺度,而自然水系河网的空间和等级结构无特征尺度,即在整数维下,自然水系河网所展现出的不可微分性、无限性和自相似性等特点无法用欧氏几何进行描述,如何准确定量描述水系河网和流域地形地貌的结构特征成为一大难题[1]。20世纪60年代,分形学的奠基人Mandelbrot[2]提出了一种基于“粗糙化”海岸线的维数计算方法,首次提出了分维的概念,为定量描述具有分形特征的水系河网结构提供了可能。分形理论是站在更为开阔的维数视角,运用分数维的描述手段,研究传统意义上的整数维数客体的理论方法。在随后的近半个世纪,分形理论得到了长足的发展,运用分形理论作为定量描述水系河网结构特征的方法也得到了学界的一致认同[3,4,5,6],尤其是在揭示水系河网结构中所体现的部分与整体、微观与宏观之间的联系中发挥了重要作用。Gupta等[7]运用统计学方法从纯数学的角度证明了分形理论中描述水系河网结构特征的部分经验公式。汪富泉[8]通过对能量和熵的分析阐明了冲击河流平面形态分形蜿蜒的物理机制。陈彦光等[9]基于标准分形水系等级序列的镜象对称性,重建了水系构成定律,澄清了不同空间、不同类别下各种维数之间的数理关系。此后诸多学者[10,11]对不同区域水系分形结构特征开展了大量的应用研究,从理论和实践上证明了分维在定量描述水系河网结构中所具有的显著优势,并对不同尺度下[12,13]水系分形结构特征的联系进行了对比分析。尽管分形理论在水系特征描述及刻画上取得了相当多的研究成果,但是由于缺乏物理机制的支撑,单一的分维数无法反映不同水系结构条件下的水文效应,对分维数计算方法的统一以及物理机制等方面的研究势在必行。可以预见在未来相当一段时期内,分形理论作为非线性科学三大理论前沿之一,将在水系河网结构研究方面有更为广阔的应用前景。

本文就目前有关水系结构分形特征的研究系统地归纳了3个方向:水系分形模型的建立及特征参数的计算、水系分维影响因素的探究、水系分维的应用研究,并针对3个方向详细地讨论了有关水系分维的国内外研究动态,追溯其研究进展,分析了目前所面临的问题,最后,对未来的发展趋势进行了展望。

2 水系分形模型的建立及特征参数的计算

分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一支,其研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则几何体,分形理论的数学基础是分形几何学。分形维数是分形理论中对非规则、破碎的分形客体进行量化的重要参数,其定义到目前为止仍然没有统一的标准。常见的分形维数定义包括Hausdorff维数、信息维数、Lyapunov维数、自相似维数和广义维数等。尽管各维数定义方式不尽相同,但主体思想都是为了探究研究对象部分与整体、微观与宏观之间的内在联系。由于水系结构无特征尺度,使得分形理论在定量刻画其结构特征中得到广泛的应用。

2.1 水系分形模型的建立

20世纪中期,美国水文学家Horton[14]通过对大量水系的分支结构进行对比,发现水系分支数与水系等级间存在着一定的规律。在随后几十年中,诸多学者经过不断发展与完善,揭示了水系等级与水系分支数、河流长度、流域面积间的相互关系,构成了Horton定律,即河流数目定律、河流长度定律、流域面积定律。Horton定律的实质是分形递归,而分形递归恰恰是分形理论的数学表达,因此很多学者试图通过重构Horton定律来寻求水系结构与其分形特征之间的联系[3,15,16,17]。然而Horton定律作为一个经验公式,公式中导出的数学参数有时并没有明确的物理意义,尽管目前有许多学者在参数表达以及物理机制方面开展了相应的研究[18,19,20],但尚未达成共识。

2.2 基于Horton定律的水系分维数计算

在建立具有分形特征的水系模型之后,学者们开始对表征水系分形结构的定量参数进行研究及探讨[21]。在应用Horton定律揭示水系分形结构特征参数的研究中,La Barbera等[3]和Rosso等[22]研究了意大利不同尺度下的典型流域,构建了水系分维数与水系结构特征值间的相互关系:

D=min2,max1,logRB/logRL

式中:D表示水系分维数,RBRL分别代表流域河网统计意义上的平均分支比和平均河长比。之后的研究大多都围绕该公式进行拓展与应用,对公式(1)中的限制边界以及Horton定律下发展的理论模型参数进行了诸多尝试性的讨论与分析。如罗文峰等[23]对水系分支结构的端头维数进行了深入的探讨;陈彦光等[24]以吉林省水系结构为例分析了Horton定律中参数随地形地貌以及气候条件的变化规律;凌红波等[25]通过Horton定律分析玛纳斯河流域水系结构时空演变及其驱动机制;刘乐等[26]通过Horton定律揭示青藏高原河网的发育规律和高原抬升对河流网络及地形地貌的影响;刘怀湘等[27,28]通过Horton定律对典型河网形态特征与分布开展研究,并分析了不同空间尺度下流域河网形态与环境条件的关系。以上学者们对基于Horton定律下的水系分形结构研究开展了大量工作,然而应当看到大多数研究对于模型的构建以及参数的表达依然仅从现象描述的角度开展,这实际上极大地制约了水系分形理论的发展。

2.3 计盒法计算水系分维数

早在La Barbera和Rosso之前,已有学者运用计盒法求解水系结构的水系分维数[29]。根据分形的定义,随着度量尺度r的改变,满足分形特征的物体其长度、周长、面积、体积等都随之发生变化。在水系分维数的计算中,通常用边长为r的正方形网格覆盖分形水系,得到覆盖水系的非空网格数记为N(r)。根据计盒法的定义,水系的分维数D、正方形网格边长r、非空网格数N(r)三者之间存在以下关系:

Nr~r-D

通过将公式(2)进行对数变换可以得到在ln(r)-ln(N(r))坐标系下的一元线性回归方程,该直线斜率的绝对值即水系分维数。

传统的计盒法估算分维数时受困于手工作图的计算精度,面对一些尺度较大、水系河网较为复杂的研究区域时,存在计算强度大、工作效率低、数据结果不客观等问题。近几十年来,随着计算机技术的发展以及GIS应用领域的不断拓展,利用计算机计算水系分维数的方法开始崭露头角。通过将水系图扫描后输入计算机进行矢量化运算的方法相对于手工算法,大大提高了计算效率与计算精度[30],尤其是数字高程模型(Digital Elevation Model,DEM)数据与GIS技术的结合,已成为目前计算水系分维数的主流方法[30,31,32,33]

基于GIS的水系分维数计算方法与传统方法相比具有高效、简洁和精度高等优点,在应用过程中遇到的主要问题在于水系提取中阈值的确定。阈值决定了流域水系的复杂程度,而水系分维数作为反映流域发育程度及流域信息熵的重要参数对流域水系结构的变化非常敏感。总的来说,随着阈值的增加,水系分维数随之减小[34]。目前对阈值确定的依据还没有统一的标准,除了通过与真实河网进行对比之外,主流的阈值确定方法包括拐点法、河源最小误差法、多重分形分析法等[34,35,36]。但值得注意的是选用不同的阈值确定方法对同一流域进行水系分维数计算,其计算结果可能相差甚远,这就要求对阈值确定方法进行更多具有普适意义的研究和探讨[37]

3 水系分维的影响因素

水系结构与形态研究是河流地貌学研究的重要任务之一,水系分维不仅反映了水系的分形特征,其大小更映射了水系分维与其影响因素之间的相互关系。水系是内外动力长时间综合作用的结果,是一个地区气候、地形、植被、地质等条件的综合反映。学者们通过建立回归模型分析影响水系分维的诸多因素(降水、径流、气候、地形地貌、岩性、构造活动等),认为地理环境要素及人类活动是驱动流域水系发展变化的主要原因,各要素与水系结构或流域发育状况间存在着复杂的非线性关系[38]

地理环境要素是地球内外营力作用下使地形地貌发生变化的驱动要素。在内营力方面,地壳垂向运动及断裂带位置对水系发育控制强烈,从空间格局上决定了河流的分布位置[38,39],而区域构造活动性强弱影响着水系的形态[40]。岩性反映了岩石的成因,岩石风化后形成土壤母质,故决定了表层的土壤类型。岩性与土壤类型对水流抗冲刷能力影响显著,从而影响水系的发育[41,42] 。在外营力方面,水文循环中的降水、径流要素是地貌演变的主要动力,促进了水系的发育[43],同时,水系分维数还与区域的土地利用类型、植被覆盖以及气候特征有着密不可分的联系[44,45]

人类活动对水系分形结构的影响是近几年的研究热点,通过对比不同时期流域内的水系分维数,即可分析人类活动尤其是城市化进程对水系结构的影响[46]。一系列的研究表明:在中国及其他地区的典型流域,在河流下游及三角洲地区,水系结构受人为因素影响显著,高度城市化地区河网密度、水面率、支流发育系数以及复杂性降低,低级别支流数量减少[47,48],基于防洪需要对主干河道拓宽、疏浚,从而造成水系有简单化、主干化的趋势[49,50]。河流原有的多元化特征削弱,水系分维数呈下降趋势,河流连通性变差[51,52],严重影响了原先河道的调洪能力。此外,大量水利工程的修建对原有水沙输移过程及输送量产生了显著影响,改变了原有水系的格局[49,53]

作者认为自然水系演化的主要驱动力在于地理环境要素,而人类活动剧烈的城市及其周边地区,水系演化主要受控于人类活动,由于二者主要驱动力存在明显不同,应区别对待。自然水系结构与形态特征是由其所处的流域形态、气象水文、地质地貌以及流域内自然地理特征等决定的。其结构的形态与自相似性特征基本是在天然流域状态下河流演变与发育的结果,而研究人类活动影响下水系结构分形特征主要是得出人类活动对河流水系的影响程度。因此,人类活动干扰下河流演变很难有水系分形特征与规律。

此外,已有的关于水系分维影响因素的研究绝大多数是基于单标度分形下对单个影响因子的一元回归分析,着眼于构建单个因素与水系分维数之间的相关关系。通过构建一元回归模型的方法刻画分析水系发育状况及其复杂度,却忽略了多因子共同作用下水系分维数的变化及相互关系。水系是较长时间过程里内外动力综合作用的结果,影响其发育的因素可归为四大类[43]气候条件——降雨、气温、湿度等;介质条件——地层分布;地形地貌;构造活动。作者将上述4类影响因素具体化后表述成与分维数D的函数关系式:

D=f(P,E,T,M,H,S,V,F,R,α,β,γ)

式中:P为降雨量,E为蒸发量,T为气温,M为土壤湿度,H为流域高程,S为坡度,V为植被覆盖度,F为构造,R为岩性,α为流域内城市化率,β为流域内建设用地,γ为道路水管网络特征。

基于水系统计学意义上的自相似结构,尝试运用多元统计的主成分分析或因子分析的方法,研究公式(3)中的自变量因子的相互关系,进而对其进行降维操作,将会是未来研究各因素对水系发育作用的方向,对探究分形自组织结构的形成、维持和演化的物理机制等将有着深远的意义。

4 水系分维的应用研究

分形理论在水文水资源中的应用相当广泛,涵盖了水系河网结构和流域地形地貌及其演变、河床表面形态、降水时空分布、洪水时空变化、径流过程、土壤水下渗等主要领域[54],表明其在水文水资源这一学科中有着非常广阔的应用前景。作为水文学家和地貌学家一开始便认识关注并研究的水系分形结构,水系分维在描述流域地貌侵蚀发育程度、探究城市体系与水系结构的关系、评估水旱灾害、地质灾害区域划分等方面具有独特的优势[55,56,57]

4.1 水系分维数用于反映流域侵蚀地貌和水系复杂度

流域侵蚀地貌是一种极为复杂的地貌单元,流域地貌源头发育的初期阶段,伴随着坡面上产流、产沙过程,坡面形态亦在经历一个迅速变化的过程。在这一过程中,地表水流是最主要的地貌外力,是推动地貌信息熵产生非线性变化的重要因素[58,59]。对于这种具有自相似性的不规则沟系地貌,通过刻画其分维数能很好地对其实现定量描述。

水系分维数反映了水系发育的复杂程度,同时也代表了水系所处流域地貌侵蚀发育程度的阶段[60,61,62,63],根据坡地沟系、主河道等的划分原则,对于水系源头、中游、下游段的不同区域,其临界值的划分标准应有区别[64,65]。根据分形理论,通过计算水系分维数来描述流域地貌形态,揭示流域地貌形态特征,预测流域地貌发育演化趋势[66],有助于研究小流域水土流失发生发展规律,为小流域治理提供必要的数据资料和设计参数,对流域水土保持工作具有重要意义[67]。但是我们仍需注意,在对地貌发育阶段进行判定时,单一的水系分维数是否将地貌单元过于简单化表示,且不同资料来源与不同计算方法下的判别标准是否具有可对比性还值得商榷,未来在水系分维尺度问题及标准化统一问题上仍需开展进一步的深入研究。

4.2 水系分维数在滑坡泥石流灾害区域划分中的应用

水系是由地表水的侵蚀、搬运和堆积作用形成的地貌景观,也是所在地区内外地质营力作用的产物,是发生滑坡泥石流等地质灾害的主要场所。由于水系的形成本身受到岩性、地形和地质构造等因素的影响,这与滑坡泥石流形成条件基本相似。因此,水系分维数能够定量地反映滑坡泥石流灾害密度的空间分布,成为滑坡泥石流灾害区划的强有力的因子,可以比较细致地反映危害程度,非常适合于资料缺少地区和无资料地区滑坡泥石流灾害危险度评价[68,69]。通常情况下,水系分维数越大的区域,滑坡泥石流分布密度越大,反之亦然,二者具有良好的相关关系[70]

相较于传统的诸如切割线密度等灾害分区方法,用水系分维数作为反映灾害发生可能性的衡量指标可谓另辟蹊径,但水系分维数在滑坡泥石流灾害定量划分时也存在很多问题。目前存在的主要问题在于不同的地质—气候环境区,不能用相同的分维值标准来评价滑坡泥石流灾害程度的分布,其原因主要是不同的地质、气候条件下形成的水系空间分布不同,滑坡泥石流灾害的致灾因子不一样。因此,需要对不同区域的地质、气候条件等进行归类分区,针对不同区域分别开展水系分维数与滑坡泥石流灾害影响因素之间的物理关系的构建,从而通过物理机制的研究运用直观简便的水系分维数来解译滑坡泥石流灾害发生的可能性。

4.3 水系分维数与旱涝灾害问题的研究

旱涝灾害的发生是具有分形性质的[71,72]。在以往的研究中,较多地考虑了局部时间分维、关联维、Hurst指数等时间序列的分形指标,缺乏对旱涝灾害空间分布与水系结构特点两者之间关系的研究[73,74,75],而这些研究对深化旱涝灾害的发生特征及其机制具有重要的理论意义,同时也可加深对旱涝灾害现象自组织性质的认识。

河道是水流的通道,当一段时间内水流流量超过某一临界值时,就会因为水流的拥塞而产生洪涝灾害,而极端气候导致的干旱会造成河床水位的持续降低从而诱发旱灾。流域河网密度、结构组成、形态特征的不同将对暴雨洪水与干旱产生不同的响应特点[45,76]。水系分维作为表征水系拓扑及空间等级结构的特征参数对不同极端气候条件下的反映也有所不同,这实际上包含了水系分形与旱涝灾害之间的关系,无论是河长的分维还是水系的分维,都是河流流域形态特征的反映[76]。因此,河流某河段或流域某子区域旱涝灾害发生的可能性、洪水强度,与该河段河长分维或该子区域的水系分维有较好的关联性。一般来说河道分维越大、水系分维越小,洪水发生的可能性则越高[76,77,78];干旱指数越大,水系分维数越小,发生干旱的可能性则越高[45]

目前对水系分维与旱涝灾害的相关研究还比较薄弱,研究进展相对还比较缓慢,但不可否认的是,水系结构的空间生长机理及拓扑关系与旱涝灾害的发生有着密切的联系。现有的研究多集中在大尺度流域,且多是从形态学角度进行刻画描述,少有通过水系分维数从机理上对产汇流过程特点影响的研究以及该特点对旱涝灾害发生频次影响的分析。因此,从水系分维的角度开展相应的产汇流特点的理论分析,完善并加强对不同空间尺度下水系分维与旱涝灾害关系的研究将会是今后有关旱涝灾害及水系分维相互关系的一个重要方向。

4.4 水系分维数与城镇体系的关系探讨

从发生学的角度来看,城镇体系的建立总是紧密围绕水系展开的,同时城镇的发展演变也离不开水资源的供给与配置。水系的构成在影响大尺度下城镇分布的同时[79],与局部城镇结构及中心地构成也有着较为强烈的相互关系。Horton定律下水系结构与城镇模型的同构便显示出这种自然地理系统与人文地理系统间存在的变换对称性及破缺特征[80]

此外,水系分维数作为反映水系结构的特征参数,在城镇发展及城乡建设上,也有着极其深刻的背景意义。例如水系分维数与城镇体系分维的“包容”关系,实际上反映了一种严格的地理规则[81],通过对比二者间的相互关系,可以较好地探求自然环境和谐包容前提下城乡建设用地的最优值与最大值[82]。尽管目前有关该方面的研究及实用案例较少,但不可否认的是,水系分维为人地关系探索方面提供了一个崭新的思路。

5 结论与展望

分形理论的形成主要是基于20世纪60年代Mandelbrot对海岸线的标度测量,各领域研究者借助于自相似性及不同的测量方法和标度律开展了较为广泛的研究。但由于几何标度系数的内涵难以真正解释物理现象的内在机理,单从形态学上对图形和表象进行描述和刻画略显单薄,从而限制了分形理论的应用,造成“泛而不深”的研究现状。虽然水系结构的分形特征研究已经取得了长足的进展,但是由于研究方法及理论方面的不完善,支撑的物理机制的缺乏,水系结构的研究仍需要大量系统的有针对性的工作:

(1)水系分维数计算方法的统一是对比各研究成果的前提和基础。尽管水系具有分形的结构特征,但实际上仍受计算标度的影响而表现出不同程度的差别。目前,水系分维数的计算结果受制于物理机制的模糊以及计算标准的不统一,其对比的意义与合理性仍值得商榷。用同一标准来判定不同计算方法、不同尺度下的流域地貌侵蚀发育程度、评估灾害区等级等不可避免地存在问题。

(2)水系分维与水系结构的内在机理研究应当给予重视。水系分维在描述流域地貌侵蚀发育程度、区域景观设计、评估水旱灾害、地质灾害区域划分中的应用已比较广泛。然而,水系分维在这一系列子领域中的应用绝大多数仅仅是从形态学上对图形和表象进行描述和刻画,由于缺乏物理机制的支持,单一的分维数无法反映不同水系结构条件下的水文效应,其余提及的滑坡泥石流、洪涝灾害等应用也仅仅是从流域地貌形态角度的分析,无法剖析相关灾害的发生机制。因此,建立水系分维数与产汇流特点、滑坡泥石流发生的机理以及洪涝灾害频次之间的关系,从机理上对其进行分析探讨,并加强对不同空间尺度下该物理变化规律与分维数的响应关系的研究,将会是今后应用研究的一个重要方向。

(3)城市洪涝灾害空间分布与水系结构的相关研究仍需加强。时间序列的分形指标对分析旱涝灾害的发生特征及预测研究具有重要的理论意义,但水系结构的空间生长机理及拓扑关系与旱涝灾害的发生有着更为天然的联系,完善并加强对不同空间尺度下水系分维与旱涝灾害关系的研究,特别在变化环境下城市洪涝方面有着更为深刻的研究意义。

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[J]. 城市规划, 2011, 35(7): 20-23.

[本文引用: 1]

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