基于SNR的GPS-IR技术机理分析

图1 线极化波反射系数的模

Fig.1 The modulus of the reflection coefficients of linear polarized waves

图2

图2 线极化波透射系数的模

Fig.2 The modulus of the transmission coefficients of linear polarized waves

由图1可知，随着高度角的增大，垂直极化波的反射系数逐渐减小并趋于稳定，介电常数越大，反射系数的变化幅度越小。由公式（3）可知，要使 $R_{⊥} = 0$ ，即公式（3）中的分子部分为0，此时 $ε_{1} = ε_{2}$ ，垂直极化波不会发生全透射现象。由图2可知，随着高度角的增大，垂直极化波的透射系数也逐渐增大。

由图1也可知，随着高度角的增大，平行极化波的反射系数先减小再增大，介电常数越大，反射系数的变化幅度越大；反射系数的最小值为0，此时 $R_{/ /} = 0$ ，即公式（4）中的分子部分为0，经简化得到：

E = a r c s i n (\sqrt[]{\frac{ε_{1}}{ε_{1} + ε_{2}}})

。（7）

由公式（7）可知，此时海（淡）水、雪和土壤对应的高度角分别为6.3°,40.2°和30.0°，统称为极化高度角，此时平行极化波发生全透射现象，反射波中只剩垂直极化波；当高度角不等于极化高度角时，平行极化波不会发生全透射现象。由图2可知，随着高度角的增大，平行极化波的透射系数也逐渐增大。

因空气的介电常数小于海（淡）水、雪和土壤的介电常数，由斯耐尔折射定律可知，入射的垂直极化波和平行极化波不会发生全反射现象。

综上所述，GPS信号从空气入射到海（淡）水、雪和土壤表面会同时存在反射和透射现象。当高度角越大或介电常数越小时，GPS入射波中的垂直极化波和平行极化波的能量透射到反射物中就越多。

（2）圆极化波的反射特性

任何一个圆极化波可以分解成2个相互正交的线极化波之和，垂直极化波和平行极化波即为其中一对正交的线极化波。GPS卫星发射的是右旋圆极化波信号，将其反射后的垂直极化波和平行极化波进行叠加，即可获得右旋圆极化波经一次反射后的反射波特性，其计算公式为^[22]：

R_{r r} = \frac{1}{2} (R_{/ /} + R_{⊥})

，（8）

R_{r l} = \frac{1}{2} (R_{/ /} - R_{⊥})

，（9）

式中： $R_{r r}$ 和 $R_{r l}$ 分别为反射后的右旋圆极化波和左旋圆极化波的反射系数。

限于篇幅，反射物的介电常数取表1中的最小值，结合公式（8）和（9），得到右旋圆极化波和左旋圆极化波反射系数的模 $|R|$ 与高度角（ $E$ ）的变化关系（图3，海水和淡水图形相同）。

图3

图3 圆极化波反射系数的模

Fig.3 The modulus of the reflection coefficients of circular polarized waves

由图3可知，随着高度角的增大，右旋圆极化波逐渐减少并趋于0，右旋圆极化波转换为左旋圆极化波增多，当高度角达到40°以后趋于稳定。当 $R_{r r} = R_{r l}$ 时，结合公式（8）和（9），得 $R_{/ /} = 0$ ，此时的高度角为上述的极化高度角。减少的右旋圆极化波并没有全部转换为左旋圆极化波，由图2可知，这是因为GPS入射的右旋圆极化波部分透射到了反射物中。当右旋圆极化波斜入射到非理想导体表面时，经一次反射其反射波只有部分转换为左旋圆极化波，转换比例随着高度角和介电常数增大而变大。由参考文献[20]中理想导体表面电场所满足的边界条件，经简单推导可知，当右旋圆极化波垂直入射到理想导体表面时，经一次反射全部转换为左旋圆极化波。

综上所述，GPS反射波中同时存在右旋圆极化波和左旋圆极化波，且高度角越小，右旋圆极化波越多。因此，测量型GPS接收机天线能够接收GPS反射波中的右旋圆极化波。

2.2 接收机抑径板的影响

GPS接收机底部安装有阻止反射波进入接收机的抑径板，理论上，抑径板能够全部抑制接收机底部来的反射波，但实际最多可抑制27%^[6]，这是因为反射波在抑径板处发生了衍射现象。用惠更斯原理能够定量解释这一现象，当反射波遇到抑径板时，其传播方向发生改变，并能绕过抑径板边缘而继续向前传播。

衍射现象显著与否和抑径板的大小与反射波波长之比有关，若抑径板的宽度远大于波长，衍射现象不明显；若抑径板的宽度与波长差不多，衍射现象就比较明显；若抑径板的宽度小于波长，则衍射现象更加明显。GPS卫星发射的L1和L2载波的波长分别为19.03和24.42 cm，与常用GPS接收机抑径板的宽度相近，且电磁波传播的能量是场分布形式，反射波在抑径板处发生较明显的衍射现象，从而反射波能够被接收机天线接收。

3 反射波的影响机理

研究在不同高度角情况下，GPS反射波对SNR的影响规律。

3.1 直射波和反射波振幅的关系

设GPS卫星发射机发射信号的功率为 $P_{t}$ ，卫星天线增益为 $G_{t}$ ，载波波长为 $λ$ ，卫星到接收机的距离为 $d$ ，大气损失为 $L_{f}$ ，则接收机接收到的直射波功率 $P_{r}$ 为^[1,23]：

P_{r} = \frac{G_{r} λ^{2}}{{(4 π)}^{2}} \frac{P_{t} G_{t}}{L_{f} d^{2}}

，（10）

式中： $G_{r}$ 为接收机天线增益（图4）。

图4

图4 直射波和反射波的天线增益

Fig.4 Antenna gain of direct waves and reflected waves

设GPS信号经反射物反射后到达接收机，直射波和反射波的振幅分别为^[15]：

\begin{matrix} A_{d} = P_{r} G_{r} (+ E) \\ A_{m} = P_{r} R_{s} G_{r} (- E) \end{matrix}\}

，（11）

式中： $A_{d}$ 和 $A_{m}$ 分别为经接收机接收后的直射波和反射波的振幅； $G_{r} (+ E)$ 和 $G_{r} (- E)$ 分别为入射波高度角为 $+ E$ 和 $- E$ 时的接收机天线增益； $R_{s}$ 为反射系数（ $0 \leq R_{s} \leq 1$ ），也称衰减系数，反射波的部分能量被反射面所吸收，反射波强度一般会减小。

接收机天线增益随高度角的变化而变化，所以信号振幅是随时间不断变化的标量。对于测量型GPS接收机天线，为了有效抑制反射波引入的观测误差，通常将接收机天线增益设计成 $G_{r} (+ E) ≫ G_{r} (- E)$ ，且 $G_{r} (+ E) > 1$ ， $G_{r} (- E) < 1$ ，即直射波振幅由于接收机天线增益模式设计而变大了，反射波振幅由于接收机天线增益和反射过程信号衰减原因而变小了。因此，直射波和反射波的振幅关系为：

A_{d} ≫ A_{m}

。（12）

不同波的振幅关系为：

A_{c}^{2} = A_{d}^{2} + A_{m}^{2} + 2 A_{d} A_{m} c o s ψ

，（13）

式中： $A_{c}$ 为合成波的振幅； $ψ$ 为直射波和反射波的相位延迟。当无反射波时， $A_{c} = A_{d}$ 。

由公式（12）和（13）可知，直射波决定着合成波的总体变化趋势，而反射波则表现为局部的波动。设反射波和直射波的振幅比 $α = A_{m} / A_{d}$ ，代入公式（13）得：

A_{c}^{2} = A_{d}^{2} + α^{2} A_{d}^{2} + 2 α A_{d}^{2} c o s ψ

。（14）

由公式（12）可知 $α$ 很小，忽略 $α$ 的二次项，公式（14）可近似写为：

A_{c}^{2} = A_{d}^{2} + 2 α A_{d}^{2} c o s ψ

。（15）

3.2 信噪比和振幅的关系

信噪比是测量型GPS接收机附带的观测值，其是表征接收机天线所接收到信号强度的一个量值^[16]。SNR主要受接收机天线增益、接收机中相关器的状态和反射波3个方面的影响^[24]，接收机中相关器的状态一般较好，即SNR的观测噪声一般很小。接收机噪声功率一般为常量，对SNR序列的频率和相位没有直接影响，将接收机噪声功率去除后有^[24,25]：

\begin{array}{l} S N R = A_{c}^{2} + n o i s e \approx A_{c}^{2} \\ S N R_{d} = A_{d}^{2} \end{array}\}

，（16）

式中：SNR为合成波信噪比；SNR_d为直射波信噪比；noise为SNR的观测噪声。

将公式（16）代入公式（15），得：

S N R = S N R_{d} + d S N R

，（17）

式中：dSNR为信噪比残差，其计算公式为：

d S N R = 2 α A_{d}^{2} c o s ψ

。（18）

由公式（12）可知，直射波信噪比远大于信噪比残差，在GPS接收机输出的SNR中，SNR_d决定着SNR的总体变化趋势，即相当于SNR的趋势项，而dSNR则表现为局部的周期性波动，认为其主要是由反射波影响所致。由图2可知，高度角越小，GPS入射波能量透射到反射物中就越少，其反射波的强度就越大，此时dSNR受反射波的影响就越严重。

3.3 基于信噪比残差的反演模型

反射波和直射波间的相位延迟 $ψ$ 为^[6]：

ψ = \frac{4 π h}{λ} s i n E

，（19）

式中： $h$ 为接收机天线相位中心与反射点的垂直距离（简称垂直反射距离，图4）。

来自反射面的反射波角频率为：

ω = \frac{d ψ}{d t} = \frac{4 π h}{λ} \frac{d (s i n E)}{d t}

。（20）

若定义 $x = s i n E$ ，即将高度角的正弦作为自变量，则反射波相位延迟对于高度角正弦的变化率可以表示为：

\frac{d ψ}{d x} = \frac{4 π h}{λ}

。（21）

令 $A = 2 α A_{d}^{2}$ ，将公式（21）代入公式（18），得：

d S N R = A c o s (\frac{4 π h}{λ} s i n E + ϕ)

，（22）

式中： $A$ 为余弦曲线的振幅； $ϕ$ 为初始相位。

由公式（11），（22）和图2可知，当高度角变化范围较小时，直射波和反射波的振幅变化也较小，余弦曲线的振幅变化也不大，此时dSNR序列呈近似“余弦曲线”形态。

因为接收机天线增益模式设计，卫星从地平线升起到地平线消失，使得SNR_d序列呈近似“抛物线”形态，SNR序列就呈近似“抛物线+余弦曲线”形态。可使用二阶多项式拟合得到SNR_d，再由公式（17）实现二者的分离，即得信噪比残差。只要获得dSNR及其对应历元的高度角，通过模型解算就可以得到垂直反射距离、初始相位等参数。

4 实验分析

4.1 海面观测实验

实验使用的GPS数据是美国板块边缘观测计划SC02站于2014年年积日43的PRN26卫星的观测数据，数据采样间隔为15 s，接收机为Trimble NETRS，天线类型为TRM29659.00。其在一天内2个“上升—下降”阶段首尾相接的SNR变化曲线如图5所示。

由图5可知，在一天内，同一颗卫星的L1和L2载波的SNR序列总体变化趋势基本相同，L1载波SNR大于L2载波SNR，但L2载波SNR比L1载波SNR变化幅度大。在高度角较高时，接收机天线增益较大使得SNR_d变大、dSNR变小，反之亦然。反射波的强度与高度角密切相关，总体来看，在低高度角时，SNR受反射波影响严重，此时信噪比残差的振幅较大。这些和上述理论分析结果相一致。

图5

图5 PRN26卫星SNR变化曲线

Fig.5 SNR variation curves of PRN26 satellite

4.2 湖面观测实验

4.2.1 实验数据采集

于2011年年积日133在武汉市东湖岸边开展了实验。实验采用Trimble R8接收机，能够接收GPS和GLONASS信号，本文只使用GPS信号。实验观测条件较好，视野开阔无遮挡，可以较好地接收来自湖面的反射信号（图6）。实验观测时长约4 h，采样间隔为1 s。根据气象台发布的信息，实验期间风速为1～3 m/s，湖面波浪起伏比较平缓，约为数厘米。湖面水位在4 h之内可以认为是不变的。

图6

图6 实验观测环境

Fig.6 Experimental observation environment

4.2.2 实验数据处理

限于篇幅，只绘制了PRN5卫星在“下降”阶段的变化曲线（图7）。

PRN5卫星L2载波的信噪比残差序列及其拟合结果如图8所示。

图7所得结果与图5类似。由图8可知，信噪比残差序列具有明显的余弦特性，拟合结果更加明显地反映了这一特性。这些和上述理论分析结果相一致。

因此，GPS-IR只利用低高度角（如30°以下）时的信噪比残差，从信噪比残差变化也进一步说明了接收机能够接收到反射波。

图7

图7 PRN5卫星SNR变化曲线

Fig.7 SNR variation curves of PRN5 satellite

图8

图8 PRN5卫星的L2载波dSNR观测值与拟合值

Fig.8 Observations and estimates of L2 carrier dSNR of PRN5 satellite

5 结论

基于电磁场与电磁波理论，阐释了GPS卫星发射的信号经反射物一次反射后极化特性发生改变，接收机底部安装有抑径板的情况下，测量型GPS接收机天线仍能接收反射波，且GPS-IR技术应用中只使用低高度角信噪比观测值的原因。根据测量型GPS接收机天线对直射波和反射波设计出不同的增益模式，分析了直射波和反射波在振幅上的区别，根据这一区别以及信号振幅与信噪比的关系，给出了直射波和反射波信噪比的形态，实现了直射波和反射波信噪比的分离，从而建立了基于信噪比残差的反演模型。

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